Обсуждение:Теорема Какутани о неподвижной точке
Требование выпуклости, быть может, и существенно. А вот как насчет требования замкнутости? Посмотрите внимательно на единственный рисунок в статье: это множество замкнуто! Действительно, что такое замкнутое множество? - Это множество, которому принадлежит его граница, только и всего. Причем, замкнутое множество не обязано быть односвязным, оно может состоять и из двух кусков, как это представлено на рисунке. Ну и очевидно, что, несмотря на замкнутость, неподвижной точки у такой многозначной функции нет.
В некоторых источниках говорится, что полученное с помощью многозначной функции отображение должно быть полунепрерывным сверху - вот тогда у него будет неподвижная точка. И это гораздо больше похоже на правду.Clothclub (обс.) 08:07, 16 апреля 2018 (UTC)
- Так на рисунке множество не выпукло. — Алексей Копылов 22:52, 16 апреля 2018 (UTC)
- Оно и не должно быть выпуклым. По исходной теореме выпуклым должен быть только каждый многозначный образ ф(x) для произвольно выбранного x из начального множества S. Объединение выпуклых множеств - не обязательно выпуклое множество (что, кстати, видно из рисунка). Вот пересечение выпуклых множеств - да, выпуклое множество. Есть даже теорема об этом в функциональном анализе.Clothclub (обс.) 17:16, 17 апреля 2018 (UTC)
- Так и образ точки ф(1/2) невыпукл. — Алексей Копылов 14:05, 18 апреля 2018 (UTC)
- Вы правы, образ точки ф(1/2) невыпукл. Ок, представьте, что множество SxS состоит не из двух треугольников, а всего из одного, например, верхнего. Только этот треугольник нависает не над частью прямой y=x, а над всей прямой на отрезке [0;1]. Тогда для каждого прообраза x его образ ф(x) непустой и выпуклый, а неподвижной точки все равно нет.Clothclub (обс.) 14:48, 18 апреля 2018 (UTC)
- Нет, мой пример некорректен: такое отображение не будет отображением в себя, поскольку не уместится в исходный квадрат. А если уместится, то неподвижная точка найдется.Clothclub (обс.) 18:04, 25 апреля 2018 (UTC)
- Так и образ точки ф(1/2) невыпукл. — Алексей Копылов 14:05, 18 апреля 2018 (UTC)
- Вот пример невыпуклого множества, у которого, тем не менее, имеется неподвижная точка: http://mathserfer.narod.ru/kimage0705.png Точнее говоря, неподвижная точка есть у соответствующего отображения (а не у самого множества).Clothclub (обс.) 10:29, 18 апреля 2018 (UTC)
- Ну и что? Теорема же не говорит, что выпуклость является необходимым условием. — Алексей Копылов 14:06, 18 апреля 2018 (UTC)
- Вот именно. Но вы только что считали иначе: "Так на рисунке множество не выпукло". А я вам ответил, что даже если оно невыпукло, у него все равно может быть неподвижная точка, и привел пример. Заметьте, кстати, что в приведенном примере вовсе не каждый образ ф(x) является выпуклым, а неподвижная точка все-таки имеется. Как вы это объясните?Clothclub (обс.) 14:48, 18 апреля 2018 (UTC)
- Я думал, вы хотите привести контрпример к теореме в статье. Я не понял, вы утверждаете, что в статье ошибка? — Алексей Копылов 01:10, 19 апреля 2018 (UTC)
- Вот именно. Но вы только что считали иначе: "Так на рисунке множество не выпукло". А я вам ответил, что даже если оно невыпукло, у него все равно может быть неподвижная точка, и привел пример. Заметьте, кстати, что в приведенном примере вовсе не каждый образ ф(x) является выпуклым, а неподвижная точка все-таки имеется. Как вы это объясните?Clothclub (обс.) 14:48, 18 апреля 2018 (UTC)
- Ну и что? Теорема же не говорит, что выпуклость является необходимым условием. — Алексей Копылов 14:06, 18 апреля 2018 (UTC)
- Оно и не должно быть выпуклым. По исходной теореме выпуклым должен быть только каждый многозначный образ ф(x) для произвольно выбранного x из начального множества S. Объединение выпуклых множеств - не обязательно выпуклое множество (что, кстати, видно из рисунка). Вот пересечение выпуклых множеств - да, выпуклое множество. Есть даже теорема об этом в функциональном анализе.Clothclub (обс.) 17:16, 17 апреля 2018 (UTC)
Алексей Копылов, я сейчас разложу все по полочкам. Изначально я выразил сомнение в том, что замкнутость множества является необходимым условием существования неподвижной точки. И в качестве примера я привел рисунок из статьи, в котором множество замкнуто, а неподвижной точки нет. Я уже вижу свою ошибку в рассуждении: если замкнутость является НЕОБХОДИМЫМ условием, это значит, что из существования неподвижной точки должна следовать замкнутость. Но не наоборот: из замкнутости и не должно следовать существование неподвижной точки. Т.е. мой пример ничего не доказывает и не опровергает. (На самом деле, очень сбивает с толку слово "существенное" условие - в математике нет такого понятия, строго говоря.)
Далее, вы мне возразили, что на рисунке множество и не выпукло. Т.е. это надо так понимать, что замкнутость - быть может, и необходимое условие, но явно не достаточное. Иными словами, одной только замкнутости не достаточно (для существования неподвижной точки) - нужно еще, чтобы образы были выпуклыми. Я думаю, здесь вы правы, по крайней мере, я соглашусь с этим. На самом деле, я уже почти разобрался с этой теоремой: в английской вики написано, что условие замкнутости можно смело заменить на условие полунепрерывности сверху (upper hemicontinuous set-valued function) - обе формулировки будут эквивалентными. Что интересно, в оригинальной работе Какутани использовалось все-таки понятие полунепрерывного сверху отображения.
Тем не менее, у меня все же остались претензии к статье. Теорема Какутани формулируется в стиле "если-то": если образы замкнуты и выпуклы, то существует неподвижная точка. Иными словами, замкнутость и выпуклость является достаточным условием существования неподвижной точки. Но нигде (в формулировке теоремы) не говорится, что это условие является также и необходимым.
Тем не менее, дальше по тексту статьи утверждается, что условие выпуклости является "существенным" для существования неподвижной точки. И приводится пример, в котором есть невыпуклый образ (как минимум, один такой образ) и отсутствует неподвижная точка. Сам по себе этот пример ничего не доказывает, но я так понимаю, что он призван проиллюстрировать ту мысль, что если есть невыпуклые образы, то неподвижная точка не может существовать. Так вот, я думаю, что это неверно. И я действительно могу привести контрпример (даже пару таких примеров), в котором есть и невыпуклые образы, и неподвижная точка.
Clothclub (обс.) 18:04, 25 апреля 2018 (UTC)
- Спасибо за пояснение. В математике существенным условием в теореме называют такое, которое нельзя убрать. То есть, если есть теорема A & B => C, то говорят, что условие B существенно, если теорема A=>C неверна. Существенное вовсе не значит необходимое. Приведенный пример - это просто пример того, что из одной замкнутости не следует существование неподвижной точки. То есть он показывает, что если есть невыпуклые образы, то неподвижная точка может не существовать. Он вовсе не утверждает, что неподвижная точка не может существовать. — Алексей Копылов 04:48, 26 апреля 2018 (UTC)
- Ладно, вам тоже спасибо за ответы. Не знаю, где вы взяли это понятие (существенного условия), но если всё так, то звучит достаточно убедительно для меня. По крайней мере, возразить мне больше нечего.Clothclub (обс.) 10:58, 26 апреля 2018 (UTC)